➗ Les Identités Remarquables
Maîtriser les formules essentielles pour développer et factoriser des expressions algébriques.
I. Les Trois Identités Remarquables
1. Carré d'une somme
Exemple : (x + 3)² = x² + 2×x×3 + 3² = x² + 6x + 9
2. Carré d'une différence
Exemple : (x - 4)² = x² - 2×x×4 + 4² = x² - 8x + 16
3. Produit d'une somme par une différence
Exemple : (x + 5)(x - 5) = x² - 5² = x² - 25
II. Applications et Méthodes
1. Comment développer ?
- Reconnaître la forme (somme, différence, produit)
- Appliquer la formule correspondante
- Effectuer les calculs intermédiaires
- Simplifier l'expression obtenue
Exemple : Développer (2x + 3)²
On reconnaît le carré d'une somme : (2x)² + 2×2x×3 + 3² = 4x² + 12x + 9
2. Comment factoriser ?
- Repérer une expression de la forme a² + 2ab + b²
- Vérifier qu'on a bien a², b² et 2ab
- Écrire sous la forme (a + b)² ou (a - b)²
Exemple : Factoriser x² + 10x + 25
x² = (x)², 25 = 5², 10x = 2×x×5 → x² + 10x + 25 = (x + 5)²
III. Erreurs Courantes à Éviter
⚠️ Attention ! Les erreurs les plus fréquentes :
- (a + b)² ≠ a² + b² (il manque 2ab)
- (a - b)² ≠ a² - b² (ce serait (a + b)(a - b))
- Ne pas oublier les doubles produits
- Vérifier les signes dans les développements
Vérification d'une factorisation
Pour vérifier une factorisation, développez le résultat et comparez avec l'expression initiale.
Exemple : Vérifier que 9x² - 24x + 16 = (3x - 4)²
Développons (3x - 4)² = (3x)² - 2×3x×4 + 4² = 9x² - 24x + 16 ✓
QCM - 15 Questions
Quelle est l'expression développée de (x + 4)² ?
Quelle est l'expression factorisée de 9a² - 25 ?
Quelle identité remarquable correspond à a² - 2ab + b² ?
📋 Correction du QCM
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Les identités remarquables
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